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Lundi 01 septembre 2014
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Equilibre d’un solide susceptible d’être en mouvement de rotation

Exercice 1 :

Une tige homogène de longueur l et de poids \vec{P} est mobile autour d’un axe horizontal Δ perpendiculaire à cette tige en son milieu O. On applique à l’extrémité A une force \vec{F_{1}} perpendiculaire à la tige et à l’extrémité B une force \vec{F_{2}} verticale. \vec{F_{1}} et \vec{F_{2}} sont toutes deux orthogonales à Δ (figure 1).

1. Calculer les moments des forces exercées sur la tige par rapport à Δ.

Données numériques : α = 30°, l = 10 cm, P =1 N, F1 = 1 N, F2 = 3 N

2. Calculer les moments des forces exercées sur la tige par rapport à un axe de rotation passant par le point B.

3. Déterminer dans quel sens tourne la tige T lorsque l’axe de rotation passe par le point B.

Corrigé

Pour calculer le moment d’une force, il faut :

- choisir un sens positif arbitraire,

- tracer la perpendiculaire à la direction de la force passant par l’axe de rotation

- exprimer le moment de la force.

Pour le moment de \vec{F_{1}}

a. Le sens positif choisi est indiqué sur la figure.

b. On trace la perpendiculaire à la direction de \vec{F_{1}} passant par l’axe de rotation et on note d1 la distance qu’il y a entre la direction de \vec{F_{1}} et l’axe de rotation : on remarque que d1 = OA.

c.M^{\vec{F_{1}}}_{\Delta} = + F_{1} \times d_{1} car \vec{F_{1}} fait tourner le système dans le sens positif choisi.

Soit M^{\vec{F_{1}}}_{\Delta} = + F_{1} \times OA =+ F_{1} \times \frac{l}{2} = 1 \times \frac{0,1}{2}  = 5.10-2 N.m

Pour le moment de \vec{F_{2}}

a. Le sens positif est déjà choisi.

b. On trace la perpendiculaire à la direction de \vec{F_{2}} passant par l’axe de rotation et on note d2 la distance qu’il y a entre la direction de \vec{F_{2}} et l’axe de rotation.

c.M^{\vec{F_{2}}}_{\Delta} = - F_{2} \times d_{2} car \vec{F_{2}} fait tourner le système dans le sens contraire du sens positif choisi.

On voit, à partir de la figure que : cos α = \frac{d_2}{OB}{d_2} = OB cos \alpha = \frac{l}{2} cos \alpha

Soit M^{\vec{F_{2}}}_{\Delta} = - F_{2} \times \frac{l}{2} cos \alpha  = - 3 \times \frac{0,1}{2} cos 30 = - 13.10-2 N.m

Pour le moment de \vec{P} : il est nul car la direction de \vec{P} rencontre l’axe de rotation.

2. Le sens positif choisi étant le même :

M^{\vec{F_{2}}}_{\Delta '} = 0 car la direction de \vec{F_{2}} rencontre l’axe de rotation.

M^{\vec{F_{1}}}_{\Delta '} = + F_{1} \times d'_{1} car \vec{F_{1}} fait tourner le système dans le sens positif choisi.

Soit M^{\vec{F_{1}}}_{\Delta '} = + F_{1} \times OB =+ F_{1} \times l = 1 \times 0,1  = 10-1 N.m

M^{\vec{P}}_{\Delta '} = + P \times d'_{2} car \vec{P} fait tourner le système dans le sens positif choisi.

On voit, à partir de la figure que : cos α = \frac{d'_2}{OB}{d'_2} = OB cos \alpha = \frac{l}{2} cos \alpha

Soit M^{\vec{P}}_{\Delta '} = + P \times \frac{l}{2} cos \alpha  = 1 \times \frac{0,1}{2} cos 30 = 4.10-2 N.m

3. M^{\vec{F_{1}}}_{\Delta '} + M^{\vec{F_{2}}}_{\Delta '} + M^{\vec{P}}_{\Delta '} = 10-1 + 4.10-2 = 14.10-2N.m

La somme des moments est positif donc le système tourne dans le sens positif choisi.

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Exercice 2 :

Deux enfants appuient sur une porte, chacun de son côté. Le premier enfant exerce la force \vec{F_{1}} telle que F1 = 50 N à 20 cm de la charnière (axe de rotation) ; le second exerce la force \vec{F_{2}} telle que F2 = 20 N à 45 cm de la charnière ; les droites d’action des deux forces sont perpendiculaires au plan de la porte.

1. Faire une figure correspondant à une vue de dessus de la porte et représenter les forces \vec{F_{1}} et \vec{F_{2}}

2. Dans quel sens la porte tourne-t-elle ?

Corrigé

1.

On vous demande une figure vue de dessus car c’est avec cette vue que vous voyez la direction des forces, l’axe de rotation et les droites de chaque force.

La figure utilisée est très importante pour la résolution des exercices de ce chapitre. Une bonne figure est celle où les représentations des droites d’action, la direction et le sens de chaque force sont bien respectés.

2. Il faut d’abord calculer la somme des moments des forces.

Pour \vec{F_{1}} on a :

\vec{F_{1}} fait tourner la porte dans le sens contraire du sens positif choisi donc :

M^{\vec{F_{1}}}_{\Delta} = - F_{1} \times d_{1} = - 50 \times 0,2 = - 10 N.m

Pour \vec{F_{2}} on a :

\vec{F_{2}} fait tourner la porte dans le sens positif choisi donc :

M^{\vec{F_{2}}}_{\Delta} =  F_{2} \times d_{2} = 20 \times 0,45 = 9 N.m

M^{\vec{F_{1}}}_{\Delta} + M^{\vec{F_{2}}}_{\Delta} = - 10 + 9 = - 1 N.m

M^{\vec{F_{1}}}_{\Delta} + M^{\vec{F_{2}}}_{\Delta} < 0 donc la porte tourne dans le sens contraire du sens positif choisi.

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Exercice 3 :

Une poutre dont le poids est P = 100 N et dont la longueur est l = 1,0 m supporte une charge dont le poids est P1 = 300 N à son extrémité droite. Un câble relié à un mur maintient la poutre en équilibre. (figure 2)

1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la poutre.

2. Quelle doit être la tension du câble pour assurer l’équilibre de la poutre ?

3. Quelles sont les composantes (horizontale et verticale) de la force exercée par le mur sur la poutre ?

Corrigé

1. Système : La Poutre

Bilan des forces :

\vec{P} : Le poids de la poutre

\vec{T_{1}} : La force exercée par le câble sur la poutre.

\vec{R} : la réaction exercée par le mur sur la poutre.

\vec{T_{2}} : La force exercée par le fil sur la poutre.

2.

La poutre susceptible d’être en mouvement autour d’un axe passant par A est en équilibre donc :
- \vec{P} + \vec{T_{1}} + \vec{R} + \vec{T_{2}} = \vec{0} (1)
- M^{\vec{P}}_{\Delta} + M^{\vec{T_{1}}}_{\Delta} + M^{\vec{R}}_{\Delta} + M^{\vec{T_{2}}}_{\Delta} = 0 (2)

Nous avons quatre forces qui s’exercent sur la poutre et parmi ces quatre forces nous ne connaissons que l’intensité du poids de la poutre ; toutes les autres forces sont inconnues.

Si nous essayons d’utiliser l’équation (1) on aura pas la solution car il y aura plusieurs inconnues et le nombre d’équations obtenues ne sera pas suffisant. C’est pour cette raison qu’il faut utiliser l’équation (2) et éliminer au fur et à mesure les inconnues.

M^{\vec{P}}_{\Delta} + M^{\vec{T_{1}}}_{\Delta} + M^{\vec{R}}_{\Delta} + M^{\vec{T_{2}}}_{\Delta} = 0 (2)

Le sens positif de rotation étant indiqué sur la figure, on a :

M^{\vec{R}}_{\Delta} = 0 car la direction de {\vec{R}} rencontre l’axe de rotation.

M^{\vec{P}}_{\Delta} = P × d1

Aussi cos 30 = \frac{d_{1}}{\frac{l}{2}} → d1 = \frac{l}{2} cos 30

Donc M^{\vec{P}}_{\Delta} = P × \frac{l}{2} cos 30

M^{\vec{T_{1}}}_{\Delta} = - T1 × d2

Aussi sin 60 = \frac{d_{2}}{l  - \frac{l}{3}} → d2 = \frac{2l}{3} sin 60

Donc M^{\vec{T_{1}}}_{\Delta} = - T1 × \frac{2l}{3} sin 60

M^{\vec{T_{2}}}_{\Delta} = T2 × d3

Aussi cos 30 = \frac{d_{3}}{l } → d3 = l cos 30 Donc M^{\vec{T_{2}}}_{\Delta} = T2 × l cos 30

La relation (2) donne : P × \frac{l}{2} cos 30 - T1 × \frac{2l}{3} sin 60 + T2 × l cos 30 = 0

Nous avons deux inconnues T1 et T2 dans cette relation. Il faut chercher une deuxième équation qui élimine l’une des inconnues. Pour cela, nous choisissons un deuxième système.

Système : Le fil

Bilan des forces :

\vec{F_{1}} : La force exercée par la charge sur le fil.

\vec{F_{2}} : La force exercée par la poutre sur le fil.

Le fil est en équilibre donc : \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = \vec{0}\vec{F_{1}} et \vec{F_{2}} ont la même direction, des sens contraires et la même intensité (F1 = F2 (3) ).

Aussi :

\vec{F_{2}} la force exercée par la poutre sur le fil et \vec{T_{2}} la force exercée par le fil sur la poutre sont réciproques donc F2 = T2 (4).

\vec{F_{1}} la force exercée par la charge sur le fil et \vec{F’_{1}} la force exercée par le fil sur la charge sont réciproques donc F1 = F’1. Et encore F’1 = P1 car ce sont les forces qui s’exercent sur la charge en équilibre.

En définitive on a F1 = P1 (5).

Les relations (3), (4) et (5) donnent T2 = P1.

On remplace T2 par sa valeur dans (2) et on obtient :

P × \frac{l}{2} cos 30 - T1 × \frac{2l}{3} sin 60 + P1 × l cos 30 = 0

→ P × \frac{1}{2} cos 30 - T1 × \frac{2}{3} sin 60 + P1 × cos 30 = 0

→ T1 × \frac{2}{3} sin 60 = P × \frac{1}{2} cos 30 + P1 × cos 30

→ T1 = \frac{3cos30}{2sin60}\left(\frac{P}{2} + P_{1}\right) = \frac{3cos30}{2sin60}\left(\frac{100}{2} + 300\right) = 525 N

3.

Pour résoudre cette question, on utilise la première relation :

\vec{P} + \vec{T_{1}} + \vec{R} + \vec{T_{2}} = \vec{0} (1)

On choisit un système d’axes (O, x, y) tel que (Ox) est horizontal et (Oy) vertical.

La projection de la relation (1) donne :

Sur (Ox) : Px + T1x + Rx + T2x = 0 (6)

Sur (Oy) : Py + T1y + Ry + T2y = 0 (7)

(6) → - T1cos30 + Rx = 0 → Rx = T1cos30 = 525 × cos 30 = 455 N

(7) → - P + T1 sin 30 + Ry - P1 = 0

→ Ry = P - T1 sin 30 + P1 = 100 – 525 sin 30 + 300 = 138 N

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Exercice 4 :

Une poêle a un diamètre de 24 cm. La queue est une tige homogène dont le poids P1 = 2 N et dont la longueur est l = 18 cm. La queue fait un angle α = 30° avec l’horizontale. La poêle est supposée cylindrique.

1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur l’ensemble (poêle + queue)

2. Représenter les forces qui s’exercent sur le système (poêle + queue).

3. Quelle est la masse minimale de la poêle pour que l’ensemble (poêle + queue) soit en équilibre sur un plan horizontal ?

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Exercice 5

Même exercice que l’exercice 5 du chapitre équilibre d’un solide soumis à deux ou trois forces mais résolu avec une autre méthode

Une barre homogène AB de longueur l = 2 m est en équilibre comme l’ indique la figure. Les points O, A et B sont dans un même plan vertical.

La barre fait un angle α = 40° avec le mur vertical qui est lisse. La masse de la barre est m= 10 kg.

1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la barre.

2. Énoncer les conditions d’équilibre de la barre.

3. Représenter les forces qui s’exercent sur la barre.

4. On suppose que la barre est susceptible d’être en mouvement de rotation autour d’un axe passant par B. En utilisant le théorème des moments, calculer l’intensité de la force exercée en A par le mur sur la barre.

5. Calculer l’intensité de la force exercée en B par le sol sur la barre

6. Vos résultats confirment - ils ceux de l’exercice 5 du chapitre équilibre d’un solide soumis à deux ou trois forces ?

On prendra g = 10 N.kg-1

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